フィボナッチ数列の一般項
(1) フィボナッチ数列 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 \[\< F_n\>:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(Fibonacci number)と呼ぶ. (2) 初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_ = L_n+L_$ で定まる数列 \[\< L_n\>:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.
ビネの公式
定理《ビネの公式》
ビネの公式の応用
定理《フィボナッチ数列の隣接項の比》
定理《フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係》
定理《偶数番目のリュカ数》
ビネの公式により, \[\begin
高校数学の問題
問題《リュカ数を表す対称式の値》
$\alpha = \dfrac,$ $\beta = \dfrac$ について, \[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.
問題《フィボナッチ数列の一般項と和》
$1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ フィボナッチ数列 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく. また, 同様の方法で $n$ 段以下の階段を上る方法の総数を $S_n$ とおく. (1) $F_ フィボナッチ数列 = F_n+F_$ が成り立つことを示せ. (2) 数列 $\< F_-\alpha F_n\>,フィボナッチ数列 $ $\< F_-\beta F_n\>$ がそれぞれ公比 $\beta,$ フィボナッチ数列 $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > \beta )$ を $1$ フィボナッチ数列 組求めよ. (3) 数列 $\< F_n\>$ の一般項を求めよ. (4) 数列 $\< S_n\>$ の一般項を求めよ.
関数と極限
問題《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》
$F_1 = F_2 = 1,$ $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 $\< F_n\>$ は「フィボナッチ数列」と呼ばれ, その一般項は \[ F_n = \frac\left\<\left(\frac<1+\sqrt 5>\right) ^n-\left(\frac\right) ^n\right\>\] であることが知られている(証明はこちらを参照). この数列について, 隣り合う項の比の極限 フィボナッチ数列 $\lim\limits_\dfrac
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フィボナッチ数列｜使い方やメリット・デメリット、使用例を解説
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フィボナッチ数列のメリット
メリット１．ルールがシンプル
メリット２．安定的に稼げる
メリット３．賭け金が緩やかに増える
メリット４．数列を自由に設定できる
フィボナッチ数列のデメリット
デメリット１．稼ぎにくい
デメリット２．負けが続いた場合、1度の勝利で損失額をすべて取り戻せるわけではない
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フィボナッチ数列の使用例
シミュレーション１．5勝5敗の場合
| ゲーム回数 | 賭け金 | 勝敗 | 配当 | 損益 |
| 1回目 | 1ドル | × | 0ドル | -1ドル |
| 2回目 | 1ドル | × | 0ドル | -2ドル |
| 3回目 | 2ドル | × | 0ドル | -4ドル |
| 4回目 | 3ドル | 〇 | 6ドル | -1ドル |
| 5回目 | 1ドル | 〇 | 2ドル | +1ドル |
| 6回目 | 1ドル | 〇 | 2ドル | +2ドル |
| 7回目 | 1ドル | × | 0ドル | +1ドル |
| 8回目 | 1ドル | 〇 | 2ドル | +2ドル |
| 9回目 | 1ドル | × | 0ドル | +1ドル |
| 10回目 | 1ドル | 〇 | 2ドル | +3ドル |
シミュレーション２．1勝9敗の場合
| ゲーム回数 | 賭け金 | 勝敗 | 配当 | 損益 |
| 1回目 | 1ドル | × | 0ドル | -1ドル |
| 2回目 | 1ドル | × | 0ドル | -2ドル |
| 3回目 | 2ドル | × | 0ドル | -4ドル |
| 4回目 | 3ドル | × | 0ドル | -7ドル |
| 5回目 | 5ドル | × | 0ドル | -12ドル |
| 6回目 | 8ドル | × | 0ドル | -20ドル |
| 7回目 | 13ドル | × | 0ドル | -33ドル |
| 8回目 | 21ドル | × | 0ドル | -54ドル |
| 9回目 | 34ドル | × | 0ドル | -88ドル |
| 10回目 | 55ドル | 〇 | 110ドル | -32ドル |
フィボナッチ数列 まとめ
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自然の不思議で美しい法則、フィボナッチ数列に魅せられた
ナレッジ
フィボナッチの法則
1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、21、34、55、89、144、233・・・
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13+ 21 = 34
21 + 34 = フィボナッチ数列 55
このように、どの数もその前の 2 つを足し合わせたものになっているのです。
植物にフィボナッチ数列が当てはまる
松ぼっくり
（右回りに 13 列。左回りに 8 列）
サボテンのトゲ
（右回り 13 列。 左周り 21 列）
ひまわりのたね
（右回り 21 列。 左回り 34 列）
8 – 13 – 21 – 34 – – –
同じように、どの数もその前の 2 つを足し合わせたものになっているのです。
花びらの数にフィボナッチ数列が当てはまります
日々草 5 枚
クレマチス 8 枚
マーガレット フィボナッチ数列 21 枚
5 枚の葉っぱがちょうど重なり合うこと無く太陽の日が当たるように設計されているかのように 螺旋状に葉っぱが生えているというのです。
ちょうど 2 週したときに 0 枚目の葉っぱと重なるようなのですが、 これを歯の数と回転数の比で表すと 5 分の 2 になります。
黄金長方形もフィボナッチ数列に関係している
黄金比とは、 1 対 1.6 の割合で出来ており、ギリシャのパルテノン神殿が黄金比の比率で作られたことで有名です。
1 → ２ → ５ → ８ → 13 → 21 ・・・
このように現れた数字はまたしてもフィボナッチ数列です。 黄金比から現れた数値がフィボナッチ数列に当てはまるということです。
黄金比を取り入れて設計された Apple のロゴ、 Google のロゴ、 Twitter のロゴを見てみても、ずっと見ても飽きない落ち着きさえ感じられる不思議なパワーが感じられます。
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